Modelli di dispersione Gaussiani: Alcune cose da sapere, e 3 miti da sfatare

Patrizia Favaron

C’era una volta…

Un certo numero di anni fa, i computer personali di oggi non esistevano. E nemmeno esistevano le calcolatrici programmabili. Al massimo, ma dico proprio al massimo e per fortuna, si disponeva di un regolo e di “tavole numeriche”. (C’ero anch’io, a quel tempo, ma non c’entro: ero letteralmente una bambina 😇.)

In compenso, inquinavamo come oggi. Anzi, se possibile peggio.

E c’era così già la necessità di prevedere le ricadute al suolo delle grandi emissioni (di solito, camini industriali).

Così, già allora servivano modelli di dispersione che fossero abbastanza facili da poterli usare.

La risposta furono i modelli di dispersione Gaussiani. Ricordo di averne veduto uno interamente cartaceo: un libro, con nomogrammi e regoli e tavole numeriche, che permetteva (con una faticaccia) di determinare la ricaduta al suolo in uno o pochi punti “recettori”.

Oggi i modelli Gaussiani sono ormai quasi solo una curiosità storica, ma è davvero molto interessante vedere in che modo sono stati costruiti: secondo me, sono un esempio davvero meraviglioso di modello, nell’accezione di “semplificazione della realtà finalizzata ad ottenere risultati che qualcuno giudica utili”.

Com’è fatto un “modello Gaussiano”?

Quasi non c’è niente da dire: l’equazione del modello ci sta in poche righe!

Davvero, con un poco di pazienza possiamo eseguirlo con una calcolatrice scientifica.

I modelli di dispersione che sono arrivati in epoche storiche successive (statistici, euleriani, lagrangiani) richiedono tutti calcolatori più o meno potenti, a volte potentissimi: ma a quei tempi, non ci si poteva permettere altro.

La domanda che sorge spontanea sui modelli Gaussiani è: ma come ci sono arrivati?

La risposta è, trovo, affascinante. E credo sia interessantissimo, sul piano didattico, vedere “come si faceva” 😊.

Come ci sono arrivati?

Correvano, come dicevo, anni remoti.

Ma non così remoti che a quei tempi non si conoscesse l’equazione di advezione-diffusione:

Ma prima di procedere, credo sia doverosa una premessa: tutto quello che sto per dire è la versione semplificata, ma molto molto, del materiale che ho presentato ad un seminario a inizio 2024 ai Fisici e alle Fisiche di UNINSUBRIA. Il tono della mia presentazione voleva essere leggero, e spero di esserci riuscita, anche se riguardandola mi è venuta una certa voglia di fare dei cambi (non mi preoccupo più di tanto: è dal 1962 che convivo con me stessa, e lo so: va sempre a finire così). Nel caso, la trovate qui:

Visto che le spieghe sono già tutte là, qui possiamo limitarci alle cose fondamentali., senza il pericolo di perderci nei passaggi. Se avrai la bontà di prendere visione della presentazione vedrai come il procedimento, piuttosto tortuoso, ha richiesto moltissimo ingegno, unito alla capacità di “fare i conti a mano” un tempo diffusa.

Capacità e ingegno, però, da soli non bastano: per semplificare le equazioni bisogna fare delle ipotesi. Restrittive. E tanto più, quanto meno diffusa è la disponibilità di risorse di calcolo.

Queste, e non altro, fanno (sempre) della scelta di un modello di dispersione un’assunzione di responsabilità molto precisa. In effetti i modelli di dispersione non sono esattamente la stessa cosa dei tubi Dalmine che ho visto usare per i teleriscaldamenti:non esistono tabelle, linee guida e norme che sostituiscano un senso critico da Fisici e Fisiche.

“Per favore non usateli!”: un po’ di myth-busting a proposito di modelli Gaussiani

La concentrazione prevista al suolo non è un valor medio

La semplificazione dell’equazione di advezione-diffusione presume l’esistenza di una soluzione “stazionaria”, cioè che non cambia rispetto al tempo.

Una volta che la si ottiene, però, è appunto stazionaria, e la cosa ha un peso enorme: vuol dire, in pratica, che il rilascio di cui ci interessa quantificare la ricaduta al suolo è avvenuto con le stesse modalità dall’eternità negativa sino all’ora corrente.

In questa infinità di tempo, vento e turbolenza si suppongono rimasti esattamente uguali. E (altra ipotesi), dato che il tracciante non è reattivo, la sua massa si conserva: ma se ne è stata rilasciata una quantità ad un rateo costante finito per un’infinità di tempo, allora la massa totale è infinita?

Se prendete l’equazione del modello Gaussiano e la integrate nelle tre dimensioni spaziali, vedete che in effetti l’integrale diverge.

In Matematica questa non è una grande novità: esistono funzioni semplicissime, come ad esempio il reciproco, 1/x, il cui integrale da 0 a x tende ad infinito al crescere di x. Eppure 1/x, al crescere di x, tende a zero, e neanche troppo lentamente.

E però, il fatto che in ogni “ora simulata” (che in realtà è una infinità di tempo dall’eternità negativa a quell’ora lì) troviamo una massa infinita suona, come minimo, allarmante: l’ipotesi non è realistica. E particolarmente in certi contesti geografici (la Pianura Padana per dirne uno). In certi, ma non in tutti: nelle Grandi Pianure americane, o nelle vaste aree pianeggianti dell’Asia Centrale, invece, le variazioni del vento e della turbolenza avvengono con molta calma più spesso che nel mio cortile di casa, e nel caso i modelli Gaussiani in certe situazioni funzionano meglio che da me.

Per com’è definita, la concentrazione al suolo di un modello stazionario quindi non è un valor medio, ma una sorta di strano “valore limite” ipotizzando condizioni che si mantengono costanti per un tempo infinito.

Una concentrazione-limite, per caso, sovrastima le concentrazioni vere? Dopotutto è “limite”, e il suo integrale è infinito.

La risposta, però, in generale è negativa. In una situazione normalmente non-stazionaria, per esempio, il vento medio continua a cambiare direzione, e questo induce “avvolgimenti” nel pennacchio di tracciante rilasciato da un punto. Questo “avvolgersi” può comportare localmente il manifestarsi di concentrazioni più alte di quelle previste dai modelli Gaussiani.

Che quindi non sono necessariamente “più conservativi”! Sono, se mai, approssimazioni più crude di quelle dei più recenti modelli Lagrangiani…

Il modello Gaussiano restituisce concentrazioni infinite se la velocità del vento diventa zero

Se guardiamo anche solo distrattamente l’equazione dei modelli Gaussiani vediamo subito che la velocità del vento vi compare a denominatore.

Quindi è vero: se la velocità del vento diventa zero, allora la concentrazione prevista dal modello Gaussiano diventa infinita.

In termini aritmetici sarà anche così.

Ma quando si ha a vedere con un modello fisico, non è troppo salutare dar retta in modo cieco a certe matematiche, come quella che scrive. I problemi, infatti, cominciano molto prima che a velocità nulla! E sono legati ad un’ipotesi fisica: la velocità del vento non deve essere minore della “velocità di controflusso” dovuta alla diffusione turbolenta.

Velocità di controflusso che, in condizioni di turbolenza sviluppata (ad esempio nelle ore “convettive”) può essere anche piuttosto elevata.

Questa è la ragione per cui ISC, un famoso modello Gaussiano oggi deprecato come obsoleto dalla US-EPA, tutte le volte che nell’input meteo trovava una velocità del vento minore di 1 m/s la forzava ad 1 m/s. E quando mai, in Pianura Padana, la velocità del vento è maggiore di 1 m/s? 🤨 mica troppo spesso.

Quindi, molto prima che la velocità del vento raggiunga zero, l’equazione del modello Gaussiano perde validità fisica.

Diffusione isotropa?!

Questa è un’ipotesi più sottile, ma altrettanto brutale: il tensore di diffusività che compare nell’equazione di advezione-diffusione ha nove componenti che possono benissimo non essere uguali tra loro. Ma perché sia materialmente possibile scrivere l’equazione Gaussiana (insomma, per far tornare i conti) è necessario ipotizzare che primo, il tensore si riduce ad una “matrice” diagonale, e secondo, che tutte le componenti della diagonale principale siano uguali tra loro, cioè, che la turbolenza sia isotropa.

Parola, quest’ultima, un po’ forte presso il suolo…

Ma premesso tutto questo…

Il professor Pasquill, uno degli inventori dei modelli Gaussiani, per formularli in effetti aveva dovuto procedere a colpi ben assestati di motosega: non poteva fare altrimenti!

Ma comunque, ha prodotto un oggetto usabile, anche se valido solo come prima approssimazione.

La US-EPA ha, di recente, decretato l’invalidità degli studi di impatto ambientale futuri basati su modelli Gaussiani – in pratica ha messo questi ultimi al bando. Ma in un passato neanche troppo remoto sono stati usati intensamente, ed hanno restituito informazioni preziose, per quanto molto approssimate.

Ancora oggi, qualche anima irriducibilmente anti-avanguardista insiste nell’utilizzarli (persino in contesti come la dispersione degli odori, disciplina che più lontana dal mondo stazionario non si potrebbe immaginare). E in qualche caso di mia conoscenza, sono usati come strumento decisionale, per individuare le ore nelle quali, ad esempio, è preferibile fermare un impianto: nel caso non interessa tanto sapere dove potrebbero andare le schifezze, ma con che concentrazione lo faranno – e un modello Gaussiano è già in grado di dire qualcosa al riguardo.

Chiudo aggiungendo, a costo di ripetermi, che i modelli Gaussiani sono molto economici in termini computazionali: per usarli basta poco più che carta, penna e pazienza.

Dunque, per favore non usiamoli più, ma evitiamo, allo stesso tempo, di abbattere le loro statue 😊