Modelli a particelle

Patrizia Favaron Modelli a particelle? Di quanti modelli di dispersione esistano, e di una possibile classificazione, avevo già scritto… Avevamo visto, così, più o meno a cosa servono i modelli di dispersione, e come li si potrebbe classificare. E, forse, mi ero lasciata sfuggire una frase circa la grande efficacia e modernità dei “modelli a particelle”. Sì, ma che cosa sono? Come funzionano? E perché sono così “efficaci”? Ne vedremo, in un altro articolo. In questo, invece, vedremo alcuni aspetti “propedeutici” (🫣 mi scusate la parolaccia?) Ma prometto: saranno cose divertenti. E per parte mia farò il possibile per farmi perdonare d’essere una matematica: userò parole, e non formule… Un fatto, comunque, mi sembra piuttosto certo: gli famiglia di modelli porta con sé un linguaggio, un insieme di presupposti fisici o matematici (o tutti e due). Anche, una koiné di utenti affezionati, sviluppatori appassionati, investigatori acutissimi e geniali. Questo vale anche nel caso dei modelli a particelle, e nel loro caso il “linguaggio” ha molto il sapore dei processi casuali (qualcuno, qualcuna li chiama anche “processi stocastici“, ma che dire, le parole semplici mi piacciono di più – soprattutto a parità di significato). Camminate (deterministiche… 😇) nel continuo (Che belli, i giochi “Dai, facciamo finta che…” cui tanto tempo dedicavo da bambina… 😍 Mi piacevano proprio tanto, e, complici i miei due anni in più e la conseguente maggiore stazza, mi era facile reclutare il mio fratellino, che a dirla tutta non sembrava altrettanto interessato alla cosa. Probabilmente, però, nonostante i pochi anni passati sono ancora una bimba, perché i giochi facciamofintache restano ben presenti nella mia vita, e i processi casuali sono certamente tra questi.) (Ecco.) Facciamo finta di prendere un punto, vincolato ad una retta di lunghezza infinita. Facciamo anche finta che il punto si possa spostare lungo questa retta senza incontrare attriti. Ora, supponiamo che al tempo iniziale (che chiameremo “istante zero”) il nostro punto occupi la posizione iniziale di coordinata 0, che chiameremo “origine”. E qui comincia il bello. O, più esattamente, il ballo: all’istante 0, il punto ubico un primo spostamento, che lo porta nel punto di coordinata x1. Poi, al tempo t1, subisce un nuovo spostamento che lo porta nella posizione x2. Al tempo t2 ne subirà un terzo, che lo porterà in x3. E via così, sin che la noia non ci suggerisca di smettere. Come avvengono tutti questi spostamenti? In effetti non lo ho detto. In effetti potrebbero essere di ogni tipo. Per esempio, ogni spostamento potrebbe avere entità +1, e nel caso le posizioni successive {x0=0, x1, x2, …, xn} sono facilissime da prevedere: {0, 1, 2, …, n} Oppure, gli spostamenti potrebbero essere tutti uguali a -1. Od anche, lo spostamento all’istante i-esimo potrebbe essere uguale al doppio dello spostamento al passo precedente, con il primo spostamento uguale ad 1. Nel caso, per la cronaca la successione delle posizioni è {0, 1, 3, 7, 13, …} Successioni come queste sono puramente deterministiche: esiste una regola che, data una posizione, ci permette di prevedere esattamente la posizione successiva. E di più: questa regola, magari complicatissima, ammette come “dati di ingresso” soltanto la posizione al passaggio precedente, ed il numero del passaggio. Situazione, questa, piuttosto comune: tanto da meritarsi un nome, camminata (deterministica) nel continuo. Il fatto che una successione di posizioni (di punti sulla retta) sia deterministica non ne fa qualcosa di poco interessante – e difatti alcune successioni sono a dir poco famosissime: per esempio, quella formata dai Numeri di Fibonacci, {1, 1, 2, 3, 5, 8, …} în cui ogni elemento si ottiene come somma dei due che lo precedono. Possiamo scriverla come una “camminata nel continuo”, nel senso che ho detto? Sì, anche se a livello estetico la definizione in termini di “somma dei due valori che precedono” è molto più bella da vedere – comunque, vediamola lo stesso: F(n) = (1.61803…^n – 0.61803…^3) / 0.23606… dove 0.23606… è la radice quadrata di 5, 1.61803 la “sezione aurea”, cara ai pittori del Rinascimento, e 0.61803… la sua “coniugata” (i numeri di Fibonacci, e la storia delle loro apparizioni spesso misteriose nella Natura, sono protagonisti di un bellissimo libro, Livio M, 2017, La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni, Biblioteca Universale Rizzoli). Quanto allo strano accento “^”, l’ho usato (in mancanza di meglio su questi schermi) per indicare l’elevamento a potenza intera: x^n = x * x * x * … * x (n volte). Insomma, già pescando tra le camminate deterministiche nel continuo si trova davvero di tutto, molto spesso interessante (ricordo, anche, e con affetto, il corso di Matematica combinatoria del geniale professor Michele Sce, intorno al 1986 a Matematica a Milano, in occasione del quale ci introdusse a numerosi altri “numeri magici” della Matematica, tra i quali i Numeri di Bernoulli cari ad Ada Lovelace, per dire solo un caso – ma sarebbero troppi, per parlarne qui. Anche perché le successioni deterministiche non sono state, che io sappia, molto usate per rappresentare i fenomeni di diffusione, e quindi la dispersione. Per arrivare a questi dobbiamo fare un passo piccolo piccolo, ma, come vedremo, dalle conseguenze (letteralmente!) esplosive. La Camminata a Caso nel Continuo Ecco: abbiamo introdotto le camminate deterministiche nel continuo, ed abbiamo veduto come le possiamo scrivere come Valore “adesso” = Valore “prima” + Spostamento “adesso” oppure Valore “adesso” = Regola “per adesso” Ora concentreremo l’attenzione sulla prima di queste due forme (che mi ricorda molto più da vicino il concetto di “camminata” come successione di passi). E già che ci siamo, introduciamo un poco di convenzioni per facilitare il racconto. Intanto, con “x(t)” intendiamo la posizione del punto all’istante “t” rispetto al sistema di coordinate che immaginiamo di imporre sulla retta (lineare). E adesso, l’ipotesi: x(t + dt) = x(t) + S dove con “dt” ho indicato un breve intervallo di tempo (non necessariamente infinitesimo!), e con “S” la novità: uno scostamento casuale, cioè, una variabile casuale di cui immaginiamo di conoscere la distribuzione